完全数とは何か。2500年以上研究され続けている、完全性を秘める数とその歴史

どうも丸田です。
今回は数学でも神秘なる性質を持つ数の1つ「完全数」をご紹介します。

この完全数とは、紀元前500年頃から研究されていた数の性質です。

数学者ピタゴラスが発見していた数の性質で、ユークリッドが公式を発見したという歴史があります。

では完全数とは一体何なのか？なぜ研究され始めたのか？

その秘密を紐解いていきましょう！

完全数とは？

完全数とは以下のように説明できます。

ぱっと見ややこしいですが苦笑、シンプルです。

ちなみに、完全数として知られているのは6、28、496、8128…となります。

では、まずは6を考えてみましょう。

6の約数は1,2,3,6です。

そのうち自身の6を除く、3つの約数は1,2,3。

これら3つの数の合計が(1+2+3=)6となります。

6という数字を選び、その6の約数を合計したら結果6になったので、6は完全数となります。

次の28の場合を考えてみましょう。

28の約数は1,2,4,7,14,28です。そのうち自身の28を除くと1,2,4,7,14となります。

そして、1+2+4+7+14＝28となります。

よって、28は完全数となります。

どうでしょう？規則が見えてきましたか？

最後に496を考えてみましょう。

496の約数は1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496です。

そのうち自身496をのぞいた約数は1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248となり、これらの合計を計算すると…

1+2+4+8+16+31+62+124+248=496

このような不思議な性質を持つ数字が完全数なのです。

この完全数の性質は非常にレアでして、6、28、496、8128、33550336、…と数字の間隔が大きく開きながら続いていきます。

2024年10月21日時点で52個の完全数が発見されています。

でもここで不思議だと思うのが、なぜピタゴラスはこのような研究をしたのでしょうか？

少し考察にはなりますが、ピタゴラスの信念が関係しています。

ピタゴラスが愛した完全数

ピタゴラスはなぜこのような数の性質を熱心に研究していたのか？

それはピタゴラスの「万物は数である」という信念に密接に関係しています。

ピタゴラスは三平方の定理を証明したことで有名な古代の数学者ですが、実は「ピタゴラス教団」という宗教団体の創始者でもありました。

つまりは「数を崇拝する団体」です。

なぜ数を崇拝？と思いますが、ピタゴラスは自然界や音楽に潜む数の関係性から、数こそが世界を支配していると考えたのです。

そして、数と数との関係を理解することで、宇宙の霊性、神秘性が明らかになり、神々に近づけると信じていたのです。

要するに真理に近づきたいという、1種の願いを叶えてくれるのが数字だと信じていたわけですね。

だからこそ、数字そのものにはいろんな意味や世界の真理が内容されているとみなし、このような完全数など数字そのものに隠された性質を明らかにしようとしていたのです。

また中世の聖書には「6は神が世界を創造した日数である」という記述があったり、28は「月の公転周期」とされています。

つまりピタゴラスの発見した完全数のいくつかと、自然界や世界創造には一致する部分もあったことから、ピタゴラスは完全数への神秘性を見出したのかもしれませんね。

完全数の性質の発展

さらにピタゴラスの時代が終わり、次の時代の数学を盛り上げたのはユークリッドでした。

彼は完全数の性質をさらに発展させたのでした。

つまりは、完全数を見つけるには、2ⁿ − 1が素数となるものを見つけさえすれば、2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) に当てはめれば良いという大変便利な性質を発見しました。

これによって完全数が見つけやすくなったというわけです。

この完全数の性質はユークリッドが証明して、さらに1800年ごろに活躍した大数学者オイラーが完全体として仕上げました。

ちなみに、2ⁿ − 1で表される数を「メルセンヌ数」、2ⁿ − 1が素数ならば「メルセンヌ素数」といいます。

完全数のまとめ

今回は完全数をご紹介しました。
「完全」と聞くと、なんだか胸がザワっとくる心地よい響きがありますよね〜。

ピタゴラスが大昔から研究してきた完全性を秘めた神秘の性質。

この完全数がどんな意味を持っているのか？
世界とどのようなかかわりを持っているのかはまだ未知数ですが、いろいろと考えてみるのも面白いかもしれません。

ちなみに、数の性質は完全数の他にも、

• 不足数
• 過剰数
• 友愛数
• 社交数
• 準完全数
• 概完全数

などがあります。ぜひ調べてみてください^^