どうも、丸田です。
突然ですがクイズです！！ジャジャン！
さて解けますか？
舐めんじゃねぇぞ！
という声が聞こえてきそうです…。
答えは、、、
です。
おそらく数学にご無沙汰な方でもできたのではないかなーと思うわけです。
では、あなたはこの問題を”本当”に解けたと言えますか？
一次方程式が解けるを定義
一次方程式が解けるとは何か、定義をしましょう。
大きく2つの条件が導き出されます。
- 方程式を満たす解を全て列挙できている
- 列挙した解以外には解が存在しない
つまり、「一次方程式を解く」とは、上記の1と2が示せて、はじめて完全に解けたと言えるわけです。
ということで、これからは
- 方程式を満たす解を全て列挙できている
- 列挙した解以外には解が存在しない
これらを解説していきます。
※議論の前提として、四則演算ができると仮定します。
1.方程式を満たす解を全て列挙できている
※以下、方程式を(＊)と表現します。
まず最初に、(＊)に解が存在するかどうかを考えなければなりません。
「これに解があるだろ！常識だろ！」と考えるのは一旦ストップ。まずは基礎の基礎に立ち返ります。
この場合どうすれば良いでしょうか？
まずは「(＊)に解があると仮定して話を進める」という立場で議論する必要があります。
※方程式に解がないと仮定しても良いですが、それだと「そもそも考える必要あるの？」と疑問なので、今回は方程式に解があると仮定します。
ということで、以下の議論はあくまで「解が存在すると仮定した場合」で話を進めてまいります。
そのように仮定すれば以下のように議論できます。
x=2が解であるかどうかは、(＊)に代入して0になればOKなので、検証してみると、無事0になります。
よってx=2が解であり、「方程式を満たす解を全て列挙できている」を満たせていますね。
よってこれらの議論より、導き出した結論は以下のようになります。
2.列挙した以外には解が存在しない
次に列挙した解以外に、解が存在しないことを示して行きます。
どうすれば良いのか？
1.で導き出した内容（＝命題と呼びます）の対偶を取ることで示すことができます。
つまり、
この対偶をとると、
となります。
ちなみに、最初の命題が正しいとすれば、対偶も正しいといえます。
つまり、
はともに同じと言えるのですね。
ですので、xの値が2ではないなら、(＊)の解は存在しないと導き出せたので、「2.列挙した以外には解が存在しない」が証明できました。
一次方程式を解くとは何か まとめ
ということで今回は、一次方程式を解くとは何かについて解説してみました。
普段、あまりこのようなことを考える機会はないんじゃないかなと思います。
そういった意味では、良い論理トレーニングになったのではないでしょうか。
「こんなの当たり前！」と思っていたことも、実はこうやって深堀して考えてみると、深い考察が得られることもしばしばあります。
ぜひ参考にしてみてください。
